15. Binomialkoeffizient


Mathematische Grundlagen

n! - Möglichkeiten n unterschiedliche Objekte anzuordnen:

1. Platz = n Möglichkeiten
2. Platz = (n-1) Möglichkeiten
3. Platz = (n-2) Möglichkeiten

Wie viele Anordnungsmöglichkeiten?


Beispiel: Sitzplatzaufteilung bei n Personen mit k Männern und n-k Frauen

Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viel Möglichkeiten es gibt, n Objekte von denen jeweils k bzw. n-k gleich sind, in einer Reihe anzuordnen.

Die Binomialformel


Situation:
  • ein Versuch wird n-mal identisch durchgeführt
  • ein bestimmtes Ereignis tritt jeweils mit WK p ein
  • die Versuche sind unabhängig

Aussage:
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis genau k-mal eintritt, durch die Binomialformel



beschrieben.

Herleitung: -

Beispiele:
a) 10-maliger Münzwurf: WK (dreimal "k")?




b) 10-maliges Würfeln: WK (zweimal "6")?




c) 2-maliges Ziehen OHNE zurücklegen aus ...: WK ("einmal 3")?

-> nicht unabhängig; daher nicht anwendbar

d) 4-maliger Münzwurf: WK ("mindestens einmal K")?
1 - WK ("0-mal K") -> Komplementärereignis